Σταματιάδης Βαγγέλης: Συμπλήρωμα Γεωμετρίας (2015)

• Σταματιάδης Βαγγέλης - Γεωμετρικοί Μετασχηματισμοί (2η έκδοση, 30.3.2015)
• Σταματιάδης Βαγγέλης - Πολικότητα (1η έκδοση 24.3.2015)

Για όσους δεν τον ξέρουν, ο Βαγγέλης Σταματιάδης, απόφοιτος μαθηματικού είναι ένα δραστήριο μέλος στην ομάδα Μαθηματικό Εργαστήρι του facebook. Οι δυνατότητες όμως μιας μαθηματικής ομάδας στο facebook είναι αρκετά περιορισμένες, μιας και δεν είναι φόρουμ. Δεν υπάρχει ευκολία στην ανάγνωση μακροσκελών κειμένων, είναι δύσκολη η αναζήτηση μαθηματικών όρων ειδικά όταν είναι ενσωματωμένοι σε εικόνες, δεν είναι οργανωμένος ανά ενότητα ο χώρος κλπ. Οπότε ο,τι και να κάνει από αγάπη κανείς εκει μέσα, είναι δύσχρηστο να το βρει και να το αναζητήσει ο οποιοσδήποτε.

Τον Βαγγέλη τον συνάντησα και του είπα κάτι σαν το παρακάτω: << Η προσωπική μου άποψη είναι πως αφήνουμε πίσω μας οτιδήποτε υπάρχει μόνο σε έντυπη μορφή (ή έστω σε ψηφιακή). Όσο καλός καθηγητής και να είναι κάποιος, όπως και να τον θυμούνται οι μαθητές του, η κρίσιμη ερώτηση είναι τι άφησε πίσω του ο άνθρωπος αυτός, τι έγραψε. Ωραίο είναι το να λύνει κανείς ασκήσεις, ακόμα καλύτερο είναι το να τις κουβεντιάζει, αλλά το ιδανικό θα ήταν μερικά από τα ενδιαφέροντα μας να παρουσιαστούν κάπου για να αφήσουμε το προσωπικό μας στίγμα μέσω μιας εργασίας, μιας διάλεξης ή μιας σύνοψης από πράγματα που μελετήσαμε και τα θεωρούμε ενδιαφέροντα. Άλλωστε αφού τις γνώσεις τις έχεις, γιατί δεν ξεκινάς να ετοιμάσεις ένα φυλλάδιο με πράγματα που ήδη ξέρεις, κάτι πιο οργανωμένο ώστε να βοηθήσεις με τον τρόπο αυτό πολύ περισσοτερα άτομα; Με το να λύνεις μια άσκηση εδω κι εκεί, αυτές χάνονται αν δεν συγκεντρωθούν με κάποιο τρόπο όπως σε μια ανάρτηση ή σε ένα φυλλάδιο. Οπότε αποφάσισε τι θα σε ενδιέφερε και θα δούμε πως μπορείς να το οργανώσεις. Άλλωστε τις έχεις τις γνώσεις. >>

Σε δυο βδομάδες ο Βαγγέλης ετοίμασε ένα φυλλάδιο για τους Γεωμετρικούς Μετασχηματισμούς,  χάρμα οφθαλμών. Στην δεύτερη έκδοσή του, μια βδομάδα μετά, βελτιώθηκε και το υλικό και η οργάνωσή του. Όταν κάποιος κρίνει κάτι θα πρέπει να έχει στο μυαλό του αφενός μεν την ποιότητα του υλικού που κρίνει αφετέρου δε να ετοιμάσει και ο ίδιος κάτι ανάλογο ή συγκριτικά καλύτερο. Προσωπικά δεν έχω τις γνώσεις ούτε να το κατονήσω πλήρως αλλά και ούτε να φτιάξω κάτι ανάλογο, οφείλω όμως να ομολογήσω πως το τελικό αποτέλεσμα ξεπέρασε τις προσδοκίες μου. Ο ίδιος το αποκαλεί ''κατάθεση ψυχής'' και προφανώς δεν έχει άδικο. Το παραπάνω φυλλάδιο ήταν μόνο η αρχή. Ετοίμασε κι άλλο ένα φυλλάδιο που αφορά στην Πολικότητα και συνεχίζει να μοιράζεται μαζί μας κι άλλες γεωμετρικές του αναζητήσεις καθώς και να βελτιώνει τις ήδη υπάρχουσες. Ο,τι και να πω είναι λίγο, απολαύστε παρακάτω τις δυο του εργασίες, των οποίων παραθέτω και τον πρόλογο.

Ας κλείσω την εισαγωγή παραθέτοντας και την άποψη του ρομαντικού Βαγγέλη για το εάν είναι ή όχι μαθηματικός: << Το να λέγεσαι μαθηματικός είναι μεγάλη κουβέντα. Ο πραγματικός μαθηματικός όπως και ο επιστήμονας εν γένει είναι ένα είδος μοναχού – ασκητή. Αλλιώς δεν μπορεί να υπηρετήσει την επιστήμη του. Ο πραγματικός μαθηματικός είναι ένας άνθρωπος ιδιαίτερος, διαφορετικός από εμάς τους υπόλοιπους. Γι' αυτό προσωπικά χαρακτηρίζω τον εαυτό μου ως πτυχιούχο του μαθηματικού τμήματος και όχι μαθηματικό. >>
 

Γεωμετρικοί Μετασχηματισμοί

Ο πρόλογός του

Εδώ στη γενέτειρα της Γεωμετρικής σκέψης, ο εκπαιδευτικός δεν έχει στο οπλοστάσιό του το πολυτιμότερο ίσως μάθημα, όπου κορυφώνεται η κριτική σκέψη,  τελειοποιείται διαρκώς ο λακωνικός–αυστηρός–λιτός λόγος, πλουτίζει η φαντασία, αναπτύσσεται η πρωτοβουλία, καλλιεργείται η αναλυτική και συνθετική σκέψη, καλλιεργείται η αυτόνομη–ελεύθερη σκέψη, διδάσκεται η μέθοδος σκέψης,  ασκείται ο μαθητής στη σχεδίαση, θεμελιώνει προτάσεις με τον αποδεικτικό συλλογισμό, εμπεδώνεται η αντίληψη της καθετότητας και της παραλληλίας, και το κυριότερο θεμελιώνεται η αίσθηση της ισότητας, του μέτρου, της συμμετρίας  και της αρμονίας. Η Ευκλείδεια Γεωμετρία ή Θεωρητική Γεωμετρία που δυστυχώς παραμερίστηκε το τελευταίο χρονικό διάστημα,   είναι το κατ΄ εξοχήν μάθημα της κριτικής σκέψης, με τεράστια παιδευτική αξία, που δίνει στον εκπαιδευτικό την δυνατότητα να πλάσει ελεύθερες συνειδήσεις, ελεύθερα σκεπτόμενους ανθρώπους. Σκοπός της είναι να φέρει τα παιδιά  σε επαφή με την μέθοδο της οικοδόμησης της σκέψης. Αποβλέπει στην καλλιέργεια των πνευματικών δυνάμεων και των νοητικών δυνατοτήτων  του μαθητή. Όμως ο σημερινός απόφοιτος του Λυκείου, δεν ένοιωσε ποτέ την ηδονή να προφέρει τις μαγικές λέξεις « Κύκλος του Euler» , «Ευθεία Simson» , «Σημείο Miquel» , «Απολλώνια προβλήματα», «Χρυσή τομή» , «Τρίεδρος γωνία» , «Σφαιρικό τρίγωνο». Γιατί περιφρονούμε τα δωρεάν προσφερόμενα όπλα;

Οι επτά γεωμετρικοί μετασχηματισμοί που θα μελετηθούν παρακάτω είναι οι εξής: Μεταφορά, στροφή, κεντρική συμμετρία, αξονική συμμετρία,  ομοιοθεσία, ομοιότητα,  αντιστροφή. Βασικά αρκεί  να γνωρίζουμε τους ορισμούς των μετασχηματισμών και τα ομόλογα ευθείας και κύκλου.  Με βάση τις έννοιες  των μετασχηματισμών μεθοδεύονται οι  γεωμετρικοί  τόποι και οι  γεωμετρικές  κατασκευές. Οι μετασχηματισμοί είναι βάση για την παρακολούθηση μιας μεταβολής. Είναι λοιπόν ένα γερό εργαλείο στα χέρια του γεωμέτρη για τους τόπους και τις κατασκευές. Υπάρχουν γεωμετρικά προβλήματα π.χ. Απολλώνιες κατασκευές στα οποία  η λύση τους με κλασικό τρόπο συναντά δυσκολίες. Χρησιμοποιώντας κατάλληλο μετασχηματισμό μπορούμε να δώσουμε απλή και σύντομη λύση.      Αρχικά δίνουμε τον ορισμό του σημειακού μετασχηματισμού σαν απεικόνιση ενός συνόλου σημείων Fστο σύνολο σημείων F΄. Στη συνέχεια ορίζουμε τη μεταφορά κατά δοσμένο διάνυσμα και  τη στροφή κέντρου Ο και προσανατολισμένης γωνίας φ. Η συμμετρία με κέντρο το σημείο Ο είναι η στροφή κέντρου Ο και γωνίας π. Κατόπιν ορίζουμε την αξονική συμμετρία και την ομοιοθεσία κέντρου Ο και λόγου λ ≠ 0. Ο μετασχηματισμός της ομόρροπης ομοιότητας λόγου λ ≠ 1 μπορεί να θεωρηθεί ως σύνθεση μιας ομοιοθεσίας και μιας στροφής. Η αντιστροφή διαφέρει από τους προηγούμενους μετασχηματισμούς οι οποίοι μετασχηματίζουν ευθεία σε ευθεία και κύκλο σε κύκλο. Η αντιστροφή μετασχηματίζει ευθεία σε κύκλο και ακόμα διατηρεί τις γωνίες πχ την ορθογωνιότητα δύο κύκλων. Η αντιστροφή είναι ένα πολύτιμο αποδεικτικό μέσο διότι αν έχουμε ένα γεωμετρικό πρόβλημα με ευθείες και κύκλους, τότε  θεωρώντας κατάλληλη αντιστροφή δίνουμε απλούστερη και σύντομη λύση. Τέλος συμπληρώνουμε με ποικίλα θέματα δίνοντας συνοπτικές λύσεις με τα κριτήρια των μετασχηματισμών προβάλλοντας έτσι την σπουδαιότητά τους. 

Η 2η έκδοση του αρχείου, όπως δημοσιεύτηκε στην ομάδα του facebook Μαθηματικό Εργαστήρι βρίσκεται εδώ (ημερομηνία 24.2.2015, με βελτιωμένες μορφοποιήσεις στις 30.3.2015).

Πολικότητα

 Ο πρόλογός του

Η Ευκλείδεια Γεωμετρία, ή Γεωμετρία του κανόνα και του διαβήτη χαρακτηρίζεται από τον Αινστάιν ως το καταπληκτικότερο λογικό κατασκεύασμα.Ο Ευκλείδης (330 – 250 π.Χ) συγκέντρωσε, ταξινόμησε συστηματοποίησε, και βελτίωσε τα έργα των παλαιότερων μαθηματικών. Τελειοποίησε την αποδεικτική διαδικασία που εισήγαγε ο ιδρυτής της Θεωρητικής Γεωμετρίας Θαλής ο Μιλήσιος (643 – 548 π.Χ) και ανέπτυξαν οι Πυθαγόρειοι, δημιουργώντας έτσι ένα θεωρητικό έργο που αποτελεί σημαντική συμβολή στην ανάπτυξη της μαθηματικής επιστήμης. Η πολικότητα είναι μία αμφιμονοσήμαντη αντιστοιχία των σημείων και των ευθειών του επιπέδου με ένα ορισμένο κανόνα τον οποίο θα αναφέρουμε. Θα μελετήσουμε την πολικότητα ως προς δύο ευθείες α, β , θα περιγράψουμε τις έννοιες και τα θεωρήματα και θα δώσουμε τη σχετική μεθοδολογία.

Πολικότητα ως προς δύο ευθείες: Aν α, β δύο ευθείες και Ρ σταθερό σημείο και θεωρήσουμε από το Ρ μεταβλητή ευθεία ε και σημειώσουμε με Α, Β τα κοινά σημεία της ε με τις ευθείες α, β τότε ο γεωμετρικός τόπος των σημείων Μ που ικανοποιούν τη σχέση (ΡΜΑΒ) = -1 (Μ συζυγές αρμονικό του Ρ ως προς τα Α, Β) είναι η ευθεία που ικανοποιεί τη σχέση (α,β,ΟΡ,p) = -1 (Ο $\equiv$ a $\cap$ β). Η ευθεία p καλείται πολική του Ρ ως προς τις ευθείες α, β και το Ρ πόλος της p.

Πολικότητα ως προς κύκλο: Αν C(O,R) κύκλος και Ρ σταθερό σημείο διάφορο από το Ο και θεωρήσουμε ένα σημείο Ρ΄ ώστε (ΑΒΡΡ΄) = -1 όπου Α, Β τα κοινά σημεία της ΟΡ με τον κύκλο C τότε η πολική του Ρ ως προς τον κύκλο C είναι ευθεία p κάθετη προς την ΟΡ στο σημείο Ρ΄ και ικανοποιεί τη σχέση:  (OP) (OP΄) = $R^2$. Η ευθεία p ονομάζεται πολική του Ρ ως προς τον κύκλο και το σημείο Ρ πόλος της ευθείας p.

Ενδιαφέρον παρουσιάζει η στενή σχέση της πολικής σημείου με τις αρμονικές τετράδες. Έτσι ο γεωμέτρης – λύτης θα έχει στα χέρια του ένα γερό εργαλείο για την αντιμετώπιση γεωμετρικών θεμάτων.

Συγκεκριμένα η πολικότητα χρησιμεύει:

α) Στους γεωμετρικούς τόπους.

β) Στην καθετότητα (αν μία από τις ευθείες καταλήγει σε κέντρο κύκλου).

γ) Στις συντρέχουσες ευθείες.

δ) Στα συνευθειακά σημεία.

ε) Στους ορθογώνιους κύκλους.

στ) Στην αρμονικότητα (όπου έχω πολικότητα έχω και αρμονικότητα και όπου έχω αρμονικότητα έχω και πολικότητα).

Η 1η έκδοση του αρχείου, όπως δημοσιεύτηκε στην ομάδα του facebook Μαθηματικό Εργαστήρι βρίσκεται εδώ (ημερομηνία 24.3.2015).

Για παρατηρήσεις / σχόλια επικοινωνήστε μαζί του στο vagstam1 πακάκι otenet.gr  .

Υ.Γ.1 Οι επόμενες εκδόσεις των παραπάνω αρχείων θα ανεβαίνουν (μετά το Μαθηματικό Εργαστήρι) και στην παρούσα σελίδα.

Υ.Γ.2 Με ανάλογο σκεπτικό ξεκίνησα την προσωπική μου ενασχόληση με το Απολλώνιο πρόβλημα γεωμετρικά και το ανανεώνω όποτε βρίσκω χρόνο. Ένα από τα καλά που έχει το διαδίκτυο είναι οτι μας επιτρέπει να ανεβάζουμε νεώτερες εκδόσεις ενός αρχείου, όσο συχνά θέλουμε, χωρίς να υπάρχει οποιαδήποτε χρονική δέσμευση. Με τον τρόπο αυτό εκθέτουμε τις απόψεις μας σε δημόσια θέα με σκοπό αφενός μεν να δεχθούμε εποικοδομητικές κριτικές (περισσότερα μάτια βλέπουν καλύτερα) κι αφετέρου δε να απευθυνθούμε σε ευρύτερο κοινό που ενδεχομένως ενδιαφέρεται για το θέμα που μας απασχολεί \ ενδιαφέρει. Οποιοσδήποτε θα ήθελε να ξεκινήσει να ετοιμάζει μια εργασία στη Γεωμετρία και σκοπεύει να ετοιμάζει νέες εκδόσεις του ίδιου αρχείου μέχρι να φθάσει στην επιθυμητή μορφή, ας επικοινωνήσει μαζί μου για να την συμπεριλάβουμε κι αυτήν (στο parmenides51 παπάκι gmail.com).